Ensembles finis Exemples

$f (x) = 3 x + \frac{2}{5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 x + \frac{2}{5}$ comme une équation.

$y = 3 x + \frac{2}{5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 y + \frac{2}{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 y + \frac{2}{5} = x$ .

$3 y + \frac{2}{5} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{2}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = x - \frac{2}{5}$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 y = x - \frac{2}{5}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x - \frac{2}{5}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{5}}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{5}}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{5}}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{5}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{15}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x + \frac{2}{5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{3 x + \frac{2}{5}}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Pour écrire $3 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{3 x \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.1.2

Associez $3 x$ et $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{\frac{3 x \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{\frac{3 x \cdot 5 + 2}{5}}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{\frac{15 x + 2}{5}}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x + 2}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{15 x + 2}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $\frac{15 x + 2}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x + 2}{5 \cdot 3} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x + 2}{15} - \frac{2}{15}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x + 2 - 2}{15}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $15 x + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x + 0}{15}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $15 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x}{15}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = \frac{15 x}{15}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{2}{5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{15}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{15}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + 3 (- \frac{2}{15}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{15}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + 3 (\frac{- 2}{15}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + 3 (\frac{- 2}{3 (5)}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + 3 (\frac{- 2}{3 \cdot 5}) + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + \frac{- 2}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x - \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{2}{5}$ et $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{15}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{15}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x + \frac{2}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{15}$